矩阵是线性代数最核心的工具。它不仅仅是数字的排列，更是线性变换的数学表示。本文从零开始，梳理矩阵的基本概念与运算。

一、什么是矩阵

一个 $m \times n$ 矩阵由 $m$ 行、$n$ 列共 $mn$ 个元素组成：

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

矩阵可以理解为从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的线性映射 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$。

特殊矩阵

名称	定义
零矩阵	所有元素为 0
方阵	$m = n$
单位矩阵 $I$	主对角元为 1，其余为 0
对角矩阵	非主对角元全为 0
对称矩阵	$A^T = A$
上三角矩阵	主对角线以下全为 0

二、矩阵运算

2.1 加法与数乘

同型矩阵逐元素相加；数乘则每个元素乘以标量：

$$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \qquad (cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}$$

2.2 矩阵乘法

$A$ 为 $m \times p$，$B$ 为 $p \times n$，乘积 $C = AB$ 为 $m \times n$：

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj}$$

注意

矩阵乘法不满足交换律！一般 $AB \neq BA$。

2.3 转置

$$(A^T)_{ij} = a_{ji}$$

重要性质：$(AB)^T = B^T A^T$。

2.4 逆矩阵

若存在 $B$ 使得 $AB = BA = I$，则称 $B$ 为 $A$ 的逆，记作 $A^{-1}$。

可逆的充要条件：$\det(A) \neq 0$（行列式不为零）。

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三、初等行变换与高斯消元

三种初等行变换：

1. 交换两行：$R_i \leftrightarrow R_j$
2. 某行乘非零常数：$R_i \leftarrow \lambda R_i$
3. 一行加上另一行的倍数：$R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j$

每种初等变换对应一个初等矩阵左乘。

高斯消元示例

求解方程组：

$$\begin{cases} 2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3 \end{cases}$$

写出增广矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \end{array}\right]$$

消元过程：

Step 1：$R_2 \leftarrow R_2 + \frac{3}{2}R_1$

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \end{array}\right]$$

Step 2：$R_3 \leftarrow R_3 + R_1$

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]$$

Step 3：$R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2$

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

回代：$z = -1$，$y = 3$，$x = 2$。

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四、行列式

计算

对 $2 \times 2$ 矩阵：

$$\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$$

对 $n \times n$ 矩阵，可按任意一行（或一列）Laplace 展开：

$$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det(M_{ij})$$

其中 $M_{ij}$ 是划去第 $i$ 行第 $j$ 列的余子式。

重要性质

• $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$
• $\det(A^T) = \det(A)$
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$
• 一行（列）全为 0 → 行列式为 0
• 两行（列）成比例 → 行列式为 0
• 行交换一次 → 行列式变号

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五、秩

矩阵的秩 $\operatorname{rank}(A)$ 是其线性无关行（或列）的最大数量。

计算方法：化为行最简形（RREF），非零行数即为秩。

秩定理：$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T)$

秩-零化度定理（对 $m \times n$ 矩阵）：

$$\operatorname{rank}(A) + \dim\ker(A) = n$$

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六、向量空间

核与像

• 零空间（核）：$\ker(A) = \{\mathbf{x} \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$
• 列空间（像）：$\operatorname{Im}(A) = \{A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\}$

四个基本子空间

子空间	符号	所在空间	维数
列空间	$\operatorname{Col}(A)$	$\mathbb{R}^m$	$r$
行空间	$\operatorname{Row}(A)$	$\mathbb{R}^n$	$r$
零空间	$\operatorname{Nul}(A)$	$\mathbb{R}^n$	$n - r$
左零空间	$\operatorname{Nul}(A^T)$	$\mathbb{R}^m$	$m - r$

其中 $r = \operatorname{rank}(A)$。

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七、特征值与特征向量

若 $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$（$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$），则：

• $\lambda$ 称为 特征值
• $\mathbf{v}$ 称为 特征向量

求解

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

这个关于 $\lambda$ 的多项式称为特征多项式。

示例：求 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 的特征值。

$$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$$

解得 $\lambda_1 = 3$，$\lambda_2 = 1$。

对应特征向量：

• $\lambda_1 = 3$：解 $(A - 3I)\mathbf{v} = 0$，得 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
• $\lambda_2 = 1$：解 $(A - I)\mathbf{v} = 0$，得 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

重要性质

• $\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i$（迹等于所有特征值之和）
• $\det(A) = \prod \lambda_i$（行列式等于所有特征值之积）
• 实对称矩阵的特征值全为实数
• 属于不同特征值的特征向量线性无关

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八、矩阵对角化

若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A$ 可对角化：

$$A = PDP^{-1}$$

其中 $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$，$P$ 的列是对应的特征向量。

对角化的好处：

$$A^k = PD^kP^{-1} = P \begin{bmatrix} \lambda_1^k & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n^k \end{bmatrix} P^{-1}$$

这大大简化了矩阵幂的计算——例如解线性差分方程、Markov 链等。

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九、C++ 实现：高斯消元

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double EPS = 1e-9;

// 高斯消元，返回解向量
// a 是 n×(n+1) 增广矩阵
vector<double> gauss(vector<vector<double>> a) {
    int n = a.size();
    for (int col = 0, row = 0; col < n; col++) {
        // 选主元（列最大值）
        int pivot = row;
        for (int i = row + 1; i < n; i++)
            if (fabs(a[i][col]) > fabs(a[pivot][col]))
                pivot = i;

        if (fabs(a[pivot][col]) < EPS) continue; // 奇异

        swap(a[row], a[pivot]);

        // 消去下方各行
        for (int i = row + 1; i < n; i++) {
            double factor = a[i][col] / a[row][col];
            for (int j = col; j <= n; j++)
                a[i][j] -= factor * a[row][j];
        }
        row++;
    }

    // 回代
    vector<double> x(n, 0);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        double sum = a[i][n];
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
            sum -= a[i][j] * x[j];
        x[i] = sum / a[i][i];
    }
    return x;
}

竞赛中常用 高斯-约旦消元 一步到位求行最简形，避免回代。

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总结

概念	本质
矩阵	线性变换的坐标表示
行列式	变换对体积的缩放因子
秩	变换后空间的维数
核	被映射为零的向量集合
特征值/向量	变换中方向不变的向量及其缩放比
对角化	在最优基下化简矩阵

线性代数的美在于：所有看似抽象的代数操作，都有直观的几何解释。理解了这一点，矩阵就不再是一堆数字，而是一个有生命的变换。

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参考

• Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra
• MIT 18.06 — 经典线性代数公开课
• 3Blue1Brown 线性代数的本质 — 强烈推荐的几何直觉