本文整理 2026 年广东省普通专升本（专插本）《高等数学》真题回忆版，并给出参考答案、关键步骤与考点分析。试卷共 20 题，考试时间 120 分钟，满分 100 分。

本文依据考后回忆资料整理，并非教育考试院发布的官方试卷。题目表述、符号或数据可能与正式试卷存在细微差异，请以官方信息为准。参考资料：石桥先生《2026年广东普通专升本高数真题/答案》。

一、试卷结构

题型	题量	每题分值	合计
单项选择题	5	3 分	15 分
填空题	5	3 分	15 分
计算题	8	6 分	48 分
综合题	2	10/12 分	22 分
总计	20		100 分

整张试卷覆盖极限、导数、积分、级数、多元函数、微分方程等主干内容。前 10 题偏基础，计算题强调常规方法的熟练度，两道综合题则考查分段积分、最值与含参积分函数。

二、选择题

第 1 题：数列极限

求

$$\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac1n\right).$$

因为 $\frac1n\to0$，所以

$$\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac1n\right)=2.$$

答案：B。

第 2 题：微分

已知 $y=x^3+1$，求 $\left.\mathrm dy\right|_{x=1}$。

$$\mathrm dy=y'\mathrm dx=3x^2\mathrm dx.$$

代入 $x=1$，得 $\mathrm dy=3\mathrm dx$。

答案：C。

第 3 题：定积分

计算

$$\int_0^1(3x^2+2x)\,\mathrm dx.$$

$$\int_0^1(3x^2+2x)\,\mathrm dx =\left[x^3+x^2\right]_0^1 =(1^3+1^2)-(0^3+0^2)=2.$$

这里不能直接把系数相加成 $3+2=5$。积分后，$3x^2$ 的原函数是 $x^3$，$2x$ 的原函数是 $x^2$；再代入上下限才得到 $2$。

答案：D。

第 4 题：单侧导数

已知 $f(x)=|5x|=5|x|$，判断 $x=0$ 处左、右导数是否存在。

$$f'_-(0)=-5,\qquad f'_+(0)=5.$$

左右导数都存在，但不相等，因此函数在 $x=0$ 处不可导。

答案：A（左右导数都存在）。

第 5 题：极坐标下的二重积分

设 $D$ 为圆心在原点、半径为 2 的圆域，计算

$$\iint_D e^{x^2+y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy.$$

使用极坐标 $x^2+y^2=r^2$、$\mathrm dx\mathrm dy=r\,\mathrm dr\mathrm d\theta$：

$$\begin{aligned} \iint_D e^{x^2+y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy &=\int_0^{2\pi}\int_0^2 e^{r^2}r\,\mathrm dr\mathrm d\theta\\ &=2\pi\cdot\frac12\left(e^4-1\right)\\ &=\pi(e^4-1). \end{aligned}$$

答案：A。

三、填空题

第 6 题：重要极限

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{x} =4\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{4x}=4.$$

答案：$4$。

第 7 题：复合函数求导

已知 $f(x)=\sqrt{1+2x}$，则

$$f'(x)=\frac1{\sqrt{1+2x}},\qquad f'(0)=1.$$

答案：$1$。

第 8 题：等比级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac23\right)^n =\frac{\frac23}{1-\frac23}=2.$$

答案：$2$。

第 9 题：对坐标的曲线积分

设 $L$ 是从 $(a,0)$ 到 $(-a,0)$ 的一条直线段，求

$$\int_L y^2\,\mathrm dx.$$

线段位于 $x$ 轴上，沿途恒有 $y=0$，所以积分为 $0$。

答案：$0$。

第 10 题：反常积分与参数

已知

$$\int_a^{+\infty}xe^{-x}\,\mathrm dx=0,$$

求 $a$。分部积分可得

$$\int_a^{+\infty}xe^{-x}\,\mathrm dx=(a+1)e^{-a}.$$

由于 $e^{-a}>0$，故 $a+1=0$。

答案：$a=-1$。

四、计算题

第 11 题：极限

求

$$\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-x}.$$

因为 $x^2-x=x(x-1)$，所以

$$\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-x} =\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\cdot\frac1x=1.$$

第 12 题：高阶导数

设 $f(x)=(x-3)^5$，求 $f'''(4)$。

$$f'(x)=5(x-3)^4,$$

$$f''(x)=20(x-3)^3,$$

$$f'''(x)=60(x-3)^2.$$

因此 $f'''(4)=60$。

第 13 题：参数方程求导

已知

$$\begin{cases} x=e^t+t,\\ y=t\cos t, \end{cases}$$

求 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$。

$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{\mathrm dy/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt} =\frac{\cos t-t\sin t}{e^t+1}.$$

第 14 题：二重积分

计算

$$\iint_D(x+y)\,\mathrm dx\mathrm dy,$$

其中 $D$ 是由 $y=2$、$y=x$ 与 $y$ 轴围成的区域。

区域可写成

$$0\le x\le2,\qquad x\le y\le2.$$

因此

$$\begin{aligned} \iint_D(x+y)\,\mathrm dx\mathrm dy &=\int_0^2\int_x^2(x+y)\,\mathrm dy\mathrm dx\\ &=\int_0^2\left(2x+2-\frac32x^2\right)\mathrm dx\\ &=4. \end{aligned}$$

第 15 题：级数敛散性

判断级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^2}$$

的敛散性。令 $u_n=\frac{2^n}{n^2}$，则

$$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2}{(n+1)^2}=2>1.$$

由比值判别法，级数 发散。也可以注意到其通项不趋于 $0$，直接由级数收敛的必要条件判断发散。

第 16 题：隐函数求导与切线

求曲线

$$xy+y^3+x^5-1=0$$

在点 $(0,1)$ 处的切线方程。

设 $F(x,y)=xy+y^3+x^5-1$，则

$$F_x=y+5x^4,\qquad F_y=x+3y^2.$$

因此

$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{F_x}{F_y}.$$

在 $(0,1)$ 处，斜率 $k=-\frac13$，故切线为

$$y-1=-\frac13x,$$

即

$$y=-\frac13x+1.$$

第 17 题：可分离变量微分方程

求初值问题

$$y'=2xe^{x^2-y},\qquad y(0)=1$$

的特解。

分离变量：

$$e^y\,\mathrm dy=2xe^{x^2}\,\mathrm dx.$$

两边积分得

$$e^y=e^{x^2}+C.$$

代入 $y(0)=1$，得到 $C=e-1$，所以

$$\boxed{y=\ln\left(e^{x^2}+e-1\right)}.$$

第 18 题：二阶偏导数

已知

$$z=\sqrt{x^2+y^2},$$

在 $(x,y)\ne(0,0)$ 的范围内，证明

$$\frac{\partial^2z}{\partial x^2} +\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac1z.$$

先求一阶偏导：

$$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

再求二阶偏导：

$$z_{xx}=\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}},\qquad z_{yy}=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}.$$

相加得

$$z_{xx}+z_{yy} =\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} =\frac1{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac1z.$$

五、综合题

第 19 题：含参数区域面积与最值

平面区域 $D$ 由 $y=0$、$y=1$、$x=y^2$ 与 $x=a$ 围成，其中 $0<a<1$。

（1）求面积 $S(a)$

按 $x=a$ 分段：

$$\begin{aligned} S(a) &=\int_0^a\sqrt{x}\,\mathrm dx +\int_a^1(1-\sqrt{x})\,\mathrm dx\\ &=\frac43a^{3/2}-a+\frac13. \end{aligned}$$

（2）求面积最小值

$$S'(a)=2\sqrt a-1.$$

令 $S'(a)=0$，得 $a=\frac14$。并且当 $a<\frac14$ 时 $S'(a)<0$，当 $a>\frac14$ 时 $S'(a)>0$，所以 $a=\frac14$ 为极小值点。

$$S_{\min}=S\left(\frac14\right)=\frac14.$$

第 20 题：含参积分函数与极限

设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=2,$$

定义

$$y(x)=e^{-3x}\int_0^xe^{3t}f(t)\,\mathrm dt.$$

（1）证明 $y'+3y=f(x)$

由乘积求导与变上限积分求导公式：

$$\begin{aligned} y' &=-3e^{-3x}\int_0^xe^{3t}f(t)\,\mathrm dt +e^{-3x}e^{3x}f(x)\\ &=-3y+f(x). \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{y'+3y=f(x)}.$$

（2）求 $\lim_{x\to+\infty}y(x)$

把函数写成商：

$$y(x)=\frac{\int_0^xe^{3t}f(t)\,\mathrm dt}{e^{3x}}.$$

使用洛必达法则：

$$\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}y(x) &=\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{3x}f(x)}{3e^{3x}}\\ &=\frac13\lim_{x\to+\infty}f(x)\\ &=\frac23. \end{aligned}$$

六、答案速查

题号	参考答案
1	B，$2$
2	C，$3\mathrm dx$
3	D，$2$
4	A，左右导数都存在但不相等
5	A，$\pi(e^4-1)$
6	$4$
7	$1$
8	$2$
9	$0$
10	$-1$
11	$1$
12	$60$
13	$\frac{\cos t-t\sin t}{e^t+1}$
14	$4$
15	发散
16	$y=-\frac13x+1$
17	$y=\ln(e^{x^2}+e-1)$
18	$z_{xx}+z_{yy}=1/z$
19	$S(a)=\frac43a^{3/2}-a+\frac13$；$a=\frac14$ 时最小值为 $\frac14$
20	$y'+3y=f(x)$；极限为 $\frac23$

七、考点分布与备考建议

这套回忆卷的特点是 基础题覆盖面广、计算题方法常规、综合题重视建模与步骤。

1. 极限与导数必须稳拿分。 重要极限、等价无穷小、复合函数求导、高阶导数和单侧导数都有直接考查。
2. 积分仍是全卷核心。 定积分、反常积分、二重积分、曲线积分和变上限积分贯穿多个题型。
3. 多元函数不能只背公式。 隐函数求导、二阶偏导和二重积分都要求先识别几何或函数结构。
4. 级数先检查通项。 第 15 题用比值判别法很快，但先看 $u_n\not\to0$ 还能更快得出发散。
5. 综合题要写清分段依据。 第 19 题的关键不是积分本身，而是根据 $x=a$ 正确拆分区域。
6. 熟悉变上限积分求导。 第 20 题把积分函数、微分方程和极限组合起来，是很典型的综合方式。

建议备考时把常用结论整理成一页公式清单，同时坚持限时完成整套模拟卷。前 30 分的选择、填空应尽量控制在 25～30 分钟内，为计算题和综合题留出完整书写时间。

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如果你发现回忆版题目或答案与实际考试存在出入，欢迎在评论区指出，我会继续核对并更新。