本文整理 2026 年广东省普通专升本（专插本）《高等数学》真题回忆版，并给出参考答案、关键步骤与考点分析。试卷共 20 题，考试时间 120 分钟，满分 100 分。

试卷结构（满分100分，120分钟）

题型	题量	分值	核心考查内容
一、单项选择题	5题	15分（3分/题）	数列极限、微分、定积分、单侧导数、二重积分
二、填空题	5题	15分（3分/题）	重要极限、复合函数、级数、曲线积分、反常积分
三、计算题	8题	48分（6分/题）	极限、求导、二重积分、级数、微分方程、偏导数
四、综合题	2题	22分（10+12分）	含参数区域面积、变上限积分与极限

整张试卷覆盖极限、导数、积分、级数、多元函数、微分方程等主干内容。前 10 题偏基础，计算题强调常规方法的熟练度，两道综合题则考查分段积分、最值与含参积分函数。

资料说明： 本文依据考后回忆资料整理，题目表述、符号或数据可能与正式试卷存在细微差异。参考资料：石桥先生《2026年广东普通专升本高数真题/答案》。

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一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1. 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac1n\right)$（ ）

答案：B

解析： 因为 $\frac1n\to0$，所以

$$\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac1n\right)=2.$$

考点： 数列极限的四则运算法则。

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2. 已知 $y=x^3+1$，求 $\left.\mathrm dy\right|_{x=1}$（ ）

答案：C

解析： 根据微分公式 $\mathrm dy=y'\mathrm dx$：

$$\mathrm dy=3x^2\mathrm dx.$$

代入 $x=1$，得 $\mathrm dy=3\mathrm dx$。

易错点： 题目求的是微分，答案中不要漏写 $\mathrm dx$。

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3. 计算 $\displaystyle\int_0^1(3x^2+2x)\,\mathrm dx$（ ）

答案：D

解析：

$$\int_0^1(3x^2+2x)\,\mathrm dx =\left[x^3+x^2\right]_0^1 =2.$$

积分后，$3x^2$ 的原函数是 $x^3$，$2x$ 的原函数是 $x^2$，代入上下限后结果为 $2$。

易错点： 不能直接把原式中的系数相加成 $3+2=5$。

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4. 已知 $f(x)=|5x|$，判断 $x=0$ 处左、右导数是否存在（ ）

答案：A（左右导数都存在）

解析：

$$f'_-(0)=-5,\qquad f'_+(0)=5.$$

左右导数都存在，但不相等，因此函数在 $x=0$ 处不可导。

考点： 可导要求左、右导数不仅存在，而且必须相等。

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5. 设 $D$ 为圆心在原点、半径为 2 的圆域，计算 $\displaystyle\iint_D e^{x^2+y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy$（ ）

答案：A

解析： 使用极坐标 $x^2+y^2=r^2$、$\mathrm dx\mathrm dy=r\,\mathrm dr\mathrm d\theta$：

$$\begin{aligned} \iint_D e^{x^2+y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy &=\int_0^{2\pi}\int_0^2 e^{r^2}r\,\mathrm dr\mathrm d\theta\\ &=2\pi\cdot\frac12\left(e^4-1\right)\\ &=\pi(e^4-1). \end{aligned}$$

技巧： 被积函数和圆域都含 $x^2+y^2$ 时，优先考虑极坐标。

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6. 求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{x}=$ ＿＿＿＿

答案： $4$

解析：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{x} =4\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{4x}=4.$$

考点： 重要极限 $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$。

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7. 已知 $f(x)=\sqrt{1+2x}$，则 $f'(0)=$ ＿＿＿＿

答案： $1$

解析：

$$f'(x)=\frac1{\sqrt{1+2x}},\qquad f'(0)=1.$$

考点： 复合函数求导与链式法则。

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8. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac23\right)^n=$ ＿＿＿＿

答案： $2$

解析： 这是首项为 $\frac23$、公比为 $\frac23$ 的等比级数：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac23\right)^n =\frac{\frac23}{1-\frac23}=2.$$

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9. 设 $L$ 是从 $(a,0)$ 到 $(-a,0)$ 的直线段，则 $\displaystyle\int_L y^2\,\mathrm dx=$ ＿＿＿＿

答案： $0$

解析： 线段位于 $x$ 轴上，沿途恒有 $y=0$，所以被积函数 $y^2$ 恒为 $0$。

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10. 已知 $\displaystyle\int_a^{+\infty}xe^{-x}\,\mathrm dx=0$，则 $a=$ ＿＿＿＿

答案： $-1$

解析： 分部积分可得

$$\int_a^{+\infty}xe^{-x}\,\mathrm dx=(a+1)e^{-a}.$$

由于 $e^{-a}>0$，故 $a+1=0$，所以 $a=-1$。

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三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

11. 求极限：$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-x}$

求

$$\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-x}.$$

因为 $x^2-x=x(x-1)$，所以

$$\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-x} =\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\cdot\frac1x=1.$$

答案： $1$

解析： 将分母分解为 $x(x-1)$，再使用重要极限 $\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1$。

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12. 设 $f(x)=(x-3)^5$，求 $f'''(4)$

$$f'(x)=5(x-3)^4,$$

$$f''(x)=20(x-3)^3,$$

$$f'''(x)=60(x-3)^2.$$

因此 $f'''(4)=60$。

答案： $60$

解析： 连续求导三次后再代入 $x=4$。高阶导数题要注意阶数，不要少求或多求一次。

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13. 已知 $\begin{cases}x=e^t+t,\\y=t\cos t,\end{cases}$ 求 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$

$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{\mathrm dy/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt} =\frac{\cos t-t\sin t}{e^t+1}.$$

答案： $\dfrac{\cos t-t\sin t}{e^t+1}$

解析： 参数方程求导使用 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt}$，其中 $(t\cos t)'=\cos t-t\sin t$。

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14. 计算 $\displaystyle\iint_D(x+y)\,\mathrm dx\mathrm dy$，其中 $D$ 由 $y=2$、$y=x$ 与 $y$ 轴围成

区域可写成

$$0\le x\le2,\qquad x\le y\le2.$$

因此

$$\begin{aligned} \iint_D(x+y)\,\mathrm dx\mathrm dy &=\int_0^2\int_x^2(x+y)\,\mathrm dy\mathrm dx\\ &=\int_0^2\left(2x+2-\frac32x^2\right)\mathrm dx\\ &=4. \end{aligned}$$

答案： $4$

解析： 先画出三条边界，区域可写为 $0\le x\le2,\ x\le y\le2$，再按“先 $y$ 后 $x$”积分。

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15. 判定级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^2}$ 的敛散性

令 $u_n=\frac{2^n}{n^2}$，则

$$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2}{(n+1)^2}=2>1.$$

由比值判别法，级数 发散。也可以注意到其通项不趋于 $0$，直接由级数收敛的必要条件判断发散。

答案： 发散

解析： 比值极限为 $2>1$，故级数发散。更快的方法是先检查通项：$u_n\not\to0$，因此不满足级数收敛的必要条件。

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16. 求曲线 $xy+y^3+x^5-1=0$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程

设 $F(x,y)=xy+y^3+x^5-1$，则

$$F_x=y+5x^4,\qquad F_y=x+3y^2.$$

因此

$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{F_x}{F_y}.$$

在 $(0,1)$ 处，斜率 $k=-\frac13$，故切线为

$$y-1=-\frac13x,$$

即

$$y=-\frac13x+1.$$

答案： $y=-\dfrac13x+1$

解析： 使用隐函数求导公式 $y'=-\frac{F_x}{F_y}$ 求出切线斜率，再代入点斜式。

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17. 求初值问题 $y'=2xe^{x^2-y},\ y(0)=1$ 的特解

分离变量：

$$e^y\,\mathrm dy=2xe^{x^2}\,\mathrm dx.$$

两边积分得

$$e^y=e^{x^2}+C.$$

代入 $y(0)=1$，得到 $C=e-1$，所以

$$\boxed{y=\ln\left(e^{x^2}+e-1\right)}.$$

答案： $y=\ln\left(e^{x^2}+e-1\right)$

解析： 先分离变量并积分，再用初值 $y(0)=1$ 确定积分常数。

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18. 已知 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，证明 $z_{xx}+z_{yy}=\dfrac1z$

在 $(x,y)\ne(0,0)$ 的范围内，证明

$$\frac{\partial^2z}{\partial x^2} +\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac1z.$$

先求一阶偏导：

$$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

再求二阶偏导：

$$z_{xx}=\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}},\qquad z_{yy}=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}.$$

相加得

$$z_{xx}+z_{yy} =\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} =\frac1{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac1z.$$

答案： $z_{xx}+z_{yy}=\dfrac1z$

解析： 分别求出两个二阶偏导再相加。定义域必须排除 $(0,0)$，因为此时 $z=0$。

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四、综合题（本大题共2小题，共22分）

19.（本题10分）平面区域 $D$ 由 $y=0$、$y=1$、$x=y^2$ 与 $x=a$ 围成，其中 $0<a<1$

参考答案：

（1）求面积 $S(a)$

按 $x=a$ 分段：

$$\begin{aligned} S(a) &=\int_0^a\sqrt{x}\,\mathrm dx +\int_a^1(1-\sqrt{x})\,\mathrm dx\\ &=\frac43a^{3/2}-a+\frac13. \end{aligned}$$

（2）求面积最小值

$$S'(a)=2\sqrt a-1.$$

令 $S'(a)=0$，得 $a=\frac14$。并且当 $a<\frac14$ 时 $S'(a)<0$，当 $a>\frac14$ 时 $S'(a)>0$，所以 $a=\frac14$ 为极小值点。

$$S_{\min}=S\left(\frac14\right)=\frac14.$$

评分要点： 正确分段并列出面积积分（4分）｜求出 $S(a)$（2分）｜求驻点并判断单调性（2分）｜最小值（2分）

核心思路： 先根据直线 $x=a$ 对区域分段，再将几何面积转化为定积分，最后用导数求最值。

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20.（本题12分）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$

定义

$$y(x)=e^{-3x}\int_0^xe^{3t}f(t)\,\mathrm dt.$$

参考答案：

（1）证明 $y'+3y=f(x)$

由乘积求导与变上限积分求导公式：

$$\begin{aligned} y' &=-3e^{-3x}\int_0^xe^{3t}f(t)\,\mathrm dt +e^{-3x}e^{3x}f(x)\\ &=-3y+f(x). \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{y'+3y=f(x)}.$$

（2）求 $\lim_{x\to+\infty}y(x)$

把函数写成商：

$$y(x)=\frac{\int_0^xe^{3t}f(t)\,\mathrm dt}{e^{3x}}.$$

使用洛必达法则：

$$\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}y(x) &=\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{3x}f(x)}{3e^{3x}}\\ &=\frac13\lim_{x\to+\infty}f(x)\\ &=\frac23. \end{aligned}$$

评分要点： 乘积求导（3分）｜变上限积分求导（3分）｜等式整理（1分）｜改写为商并使用洛必达法则（3分）｜求出极限（2分）

核心思路： 变上限积分先求导建立微分关系；求极限时将指数因子移到分母，把表达式化成适合洛必达法则的形式。

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答案速查

题号	参考答案
1	B，$2$
2	C，$3\mathrm dx$
3	D，$2$
4	A，左右导数都存在但不相等
5	A，$\pi(e^4-1)$
6	$4$
7	$1$
8	$2$
9	$0$
10	$-1$
11	$1$
12	$60$
13	$\frac{\cos t-t\sin t}{e^t+1}$
14	$4$
15	发散
16	$y=-\frac13x+1$
17	$y=\ln(e^{x^2}+e-1)$
18	$z_{xx}+z_{yy}=1/z$
19	$S(a)=\frac43a^{3/2}-a+\frac13$；$a=\frac14$ 时最小值为 $\frac14$
20	$y'+3y=f(x)$；极限为 $\frac23$

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考点分布与复习策略

这套回忆卷的特点是 基础题覆盖面广、计算题方法常规、综合题重视建模与步骤。

各章节分值占比

章节	涉及题号	约分值
函数、极限与连续	1、6、11、20	~24分
导数与微分	2、4、7、12、13、16	~24分
一元函数积分学	3、10、19	~16分
多元函数与二重积分	5、14、18	~15分
常微分方程	17、20	~12分
无穷级数	8、15	~9分
曲线积分	9	~3分

分值按回忆版题目涉及知识点估算，综合题可能同时计入多个章节，仅用于安排复习优先级。

难度分档

难度	特征	典型题号
⭐ 送分	套用基本公式，一步到位	1、2、6、7、8、9
⭐⭐ 基础	需要常规计算或判别	3、4、10、11、12、13、15、17
⭐⭐⭐ 拉分	需要识别区域或综合多种方法	5、14、16、18、19、20

备考建议

1. 极限与导数必须稳拿分。 重要极限、复合函数求导、高阶导数和单侧导数都有直接考查。
2. 积分仍是全卷核心。 定积分、反常积分、二重积分、曲线积分和变上限积分贯穿多个题型。
3. 多元函数不能只背公式。 隐函数求导、二阶偏导和二重积分都要求先识别几何或函数结构。
4. 级数先检查通项。 第 15 题先看 $u_n\not\to0$，比直接使用判别法更快。
5. 综合题要写清分段依据。 第 19 题的关键是根据 $x=a$ 正确拆分区域。
6. 熟悉变上限积分求导。 第 20 题把积分函数、微分方程和极限组合在了一起。

建议备考时把常用结论整理成一页公式清单，同时坚持限时完成整套模拟卷。前 30 分的选择、填空应尽量控制在 25～30 分钟内，为计算题和综合题留出完整书写时间。

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2026 年回忆卷覆盖面较广，但多数题目仍围绕基本概念与常规方法展开。先确保基础题不丢分，再重点训练二重积分、微分方程和变上限积分综合题。若你发现题目或答案与实际考试存在出入，欢迎在评论区指出，我会继续核对并更新。🎯

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